数字图像处理中的常用变换

一、离散傅里叶变换
1.离散傅里叶变换的特点
离散傅里叶变换(DFT),是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式,将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换(DTFT)频域的采样。在形式上,变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的,而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对无限长的离散信号作DFT,也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。
DFT将空域变换到频域,很容易了解到图像的各空间频域的成分。DFT的应用十分广泛,如:图像的特征提取、空间频率域滤波、图像恢复和纹理分析等。
2.离散傅里叶变换的性质
1)线性性质
2)比例性质
3)可分离性
4)平移性质
5)图像中心化
6)周期性
7)共轭对称性
8)旋转不变性
9)卷积定理
10)平均值
二、离散余弦变换
1.离散余弦变换简介
为了快速有效地对图像进行处理和分析,常通过正交变换将图像变换到频域,利用频域的特有性质进行处理。传统的正交变换多是复变换,运算量大,不易实时处理。随着数字图像处理技术的发展,出现了以离散余弦变换(DCT)为代表的一大类正弦型实变换,均具有快速算法。目前DCT变换在数据
压缩,图像分析,信号的稀疏表示等方面有着广泛的应用。由于其变换矩阵的基向量很近
似于托普利兹(Toeplitz )矩阵的特征向量,而托普利兹矩阵又体现了人类语言及图像信号的相关特性,因此常被认为是对语音和图像信号的最佳变换。
对给定长度为N 的输入序列f(x),它的DCT 变换定义为:
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=∑-=102)12(cos )()(2)(N x N x x f u C N u F μπ
式中:1,,1,0u -=N  ,式中的)(u C 的满足:
⎪⎩⎪⎨⎧==其它1021)(u u C
在数字图像处理中,通常使用二维DCT 变换,正变换为:
⎪⎪⎭
⎫  ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N x N y N v y N u x y x f v C u C N v u F ππ      其逆变换IDCT 为:
⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N u N v N v y N u x v u F v C u C N y x f ππ      式中:1,,1,0u -=N  ,1,,1,0v -=N  。
由于DCT 的变换核是可分离的,为此,二维DCT 变换可通过两次一维变换实现,这一方法称为行列分离法。其过程如下图所示: (0,0)M-1X(m,n)逐行变换逐列变换X(m,l)X(k,l)(0,0)M-1
N-1(0,0)N-1M-1N-1
由图知,该方法是先沿行(列)进行一维DCT 变换计算,再沿列(行)进行一次一维DCT 变换,共需做M 次N 点的和N 次M 点的一维DCT 变换。其好处是结构简单,容易实现。
在 DCT 变换中,我们称F (0,0)为DC 系数,其余为AC 系数。下图说明了DCT 系数的分布规律。DCT 变换最主要的一个特点就是图像经过变换后,
主要的能量多数集中在低频系数区域,而图像的细节等信息则分布在中高频区域。因此,在压缩传感中,可以采用DCT 变换将信号变为稀疏信号,将能量较多的低频系数传输到解码端进行重构。同时,最近的研究还发现,在DCT 变换域中,图像纹理特征也呈现一定的分布规律。这使得DCT 变换在图像压缩、特征提取、图像分析,稀疏表示中有着重要的应用。
(a)频带分布                          (b)z 形扫描方式
图4.2 DCT 系数的特点
(a)频带分布                          (b)z 形扫描方式
2.离散余弦变换的特点
离散余弦变换的变换核为余弦变换,因其变换核为实数,所以,DCT 的计算速度比变换核为复数的DFT 要快的多。DCT 除了具有一般的正交变换性质外,它的变换阵的基向量能很好的描述人类语音信号,图像信号的相关特征。
三、离散沃尔什-哈达玛变换
1.离散沃尔什-哈达玛变换的特点
WHT 是将一个函数变换成取值为+1或-1的。即是将一个函数变换成取值为+1或-1的基本函数构成的级数,用它来逼近数字脉冲信号时要比FFT 有利。同时,WHT 只需要进行实数运算,存储量比FFT 要少得多,运算速度也快得多。因此,WHT 在图像传输、通信技术和数据压缩中被广泛使用。
2.离散沃尔什-哈达玛变换的性质
WHT 具有能量集中的特性,而且原始数据中数字越是均匀分布,经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此,可用来压缩图像信息。
四、K-L 变换
1.K-L 变换的特点
芯片破解
0    1    5    6 2    4 7 12 3 8 11 13 9 10 14 15
低频
中频
高频  DC
K-L变换也常称为主成分变换(PCA)或霍特林变换,是一种基于图像统计特性的变换,它的协方差矩阵除对角线以外的元素都是零,消除了数据之间的相关性,从而在信息压缩方面起着重要作用。
干式放电线圈K-L变换虽然具有MSE意义下的最佳性能,但需要先知道信源的协方差矩阵并求出特征值。求特征值与特征向量并不是一件容易的事,维数较高时甚至求不出来。即使能借助计算机求解,也很难满足实
时处理的要求,而且从编码应用看还需要将这些信息传输给接收端。这些因素造成了K-L变换在工程实践中不能广泛使用。人们一方面继续寻求解特征值与特征向量的快速算法,另一方面则寻一些虽不是“最佳”、但也有较好的去相关与能量集中的性能且容易实现的一些变换方法。而K-L变换就常常作为对这些变换性能的评价标准。
2.K-L变换的性质
1)去相关特性。K-L变换是变换后的矢量信号的分量互不相关。
2)能量集中性。所谓能量集中性,是指对N维矢量信号进行K-L变换后,最大的方差集中在前M个低次分量之中。
金属全自动喷涂生产线3)最佳特性。K-L变换是在均方误差测度下,失真最小的一种变换。
4)无快速算法,且变换矩阵随不同的信号样值集合而不同。这是K-L变换的一个缺点,是K-L变换实际应用中的一个很大障碍。
五、离散小波变换
1.离散小波变换的特点
小波变换是近几十年发展起来的,目前已成为国际上极为活跃的研究领域,其主要优点之一就是提供局部分析和细化的能力。小波变换在时域和频域都有良好的局部化特性,而且,由于对高频采取逐步精细的时域或空域步长,从而可以聚焦到分析对象的任何细节,这就称为小波变换的“数学显微镜”特性。与传统的信号分析技术相比,小波变换还能在无明显损失的情况下,对信号进行压缩和去噪。globe7
图像信息处理采用二维离散小波变换(DWT)实现,在实际应用中采用水平与垂直方向上两次一维小波变换的形式实现,在具体实现过程中则用滤波器实现离散小波变换。如下图所示:S表示原始的输入信号,通过两个互补的滤波器组,其中一个滤波器为低通滤波器,通过该滤波器可得到信号的近似值A,另一
个为高通滤波器,通过该滤波器可得到信号的细节值D ,再经过下采样即得到小波分解系数。 S
cA cD 低通高通
下下
离散小波变换(DWT )有如下优点:
1)DWT 能根据图像特点自适应的选择小波基,从而提高压缩比。而DCT 不具有自适应性。
2)可以充分利用DWT 系数之间的空间相关性对系数建模,进一步提高压缩比。
3)可以对DWT 生成的子带灵活的进行处理。
2.离散小波变换的性质
1)可分离性、尺度可变性和平移性。
2)多分辨率的一致性。
3)正交性。
六、双树复小波变换
模结构
传统的二维离散小波变换,它不具有平移不变性,此外,它的方向选择性是十分有限的,在每一个尺度空间中只能被分解成三个方向的细节信息,即水平方向、垂直方向和对角方向。然而,在某些特定的情况下,需要对图像的某些方向上的纹理或边界进行描述,此时传统的二维小波变换由于自身缺乏方向选择性就无法满足需求。为了克服二维离散小波方向选择性差的缺点,1998年英国剑桥大学的Kingsbury 等人提出了双树复小波变换。它是在复小波变换的基础上发展起来的,不仅具有传统小波变换的优良的特性,还能够更好的描述图像的方向性信息。
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双树复小波变换(dual-tree complex wavelet transform ,DDWT )是通过实数小波变换来实现复数小波变换。它将复小波的实部和虚部分开,通过两组并行的

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