数字图像处理第4章 空间域滤波

前章介绍的灰度变换,输出图像中每个像素的灰度值,仅取决于输入图像中对应像素的灰度值和采用的变换函数,而与其邻域无关。本章介绍的空间滤波方法,在确定输出图像每个像素的灰度值时,其邻域将起重要作用。所谓像素邻域,是指以该像素为中心一定空间范围内像素的集合。空间域是指图像平面自身,空间域图像增强就是直接修改像素值的处理方法,所以灰度变换和空间域滤波(Spatial Filtering)都属于空间域图像增强。
4.1 关于滤波
经典与现代
调整脚滤波是从含有噪声或干扰的接收信号中提取有用信号的一种技术。根据傅里叶分析和变换理论,任何满足一定条件的信号,都可以看成是由不同频率正弦信号成分线性叠加而成。经典滤波器假定输人信号中的有用成分和希望去除的无用成分各自占有不同的频带,这样,当输入信号通过一个滤波器后,可以将无用成分有效去除。如果信号和噪声等无用成分的频谱相互重叠,那么经典滤波器将无能为力。
现代滤波器理论则从含有噪声的数据样本中估计出信号的某些特征或信号本身。它把信号和噪声都视为随机信号,利用其统计特征导出一套最佳的估值算法,然后用硬件或软件予以实现。维纳滤波器(Wiener filter)便是这一类滤波器的典型代表。此外,还有卡尔曼滤波器(Kalman filter)、自适应滤波器(Adaptive filter)等。本章介绍的统计排序非线性空间域滤波器(Order statistics filter)也可归类
为现代滤波器。
热水回收平滑与锐化
如果滤波器输出中保留了信号的低频成分、去除了高频成分,那么该滤波器就是低通滤波器(low-pass filter);反之,如果保留了信号中的高频成分、而去除低频成分,那么该滤波器就是高通滤波器(high-pass filter)。低通滤波器能减弱像素灰度值的空间波动程度,使之变得平滑,故称平滑滤波器;而高通滤波器能提取图像中的纹理细节,可用于图像的锐化,提高图像的清晰度,又称锐化滤波器。
线性与非线性
线性空间域滤波器之所以得名,是因为这类滤波器在某一像素处的滤波输出,是该像素指定邻域内所有像素灰度值的线性结合,即加权求和。统计排序空间域滤波器是一种非线性空间域滤波器,因为它在计算某一像素的滤波输出时,首先对滤波邻域内所有像素的灰度值进行统计排序,然后用排序结果确定的统计量代替该像素的灰度值作为滤波输出,是一种非线性运算。统计排序滤波器中最常见的例子就是中值滤波器,它是用滤波邻域内所有像素的灰度值的中值来替代该像素的值。中值滤波器对处理脉冲噪声非常有效,脉冲噪声也称为椒盐噪声,因为这种噪声是以黑白点叠加在图像上的。
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线性空间域滤波器在某一像素处的滤波输出,是该像素指定邻域内所有像素灰度值的线性组合,即加权求和。例如,3⨯3均值滤波器,就是对该像素3⨯3邻域内所有9个像素的灰度值以相同的权值(1/9)加权求和;高斯低通滤波器,可认为使用高斯窗函数对滤波邻域内的像素按距离加权:邻域中心像素的权重最大,离中心距离越远,权重越小。按同样的思路,许多不同功能的线性空间滤波器,都可以通过修改权值分布来得到。
采用线性空间域滤波器对图像滤波的计算过程可描述为:
⑴对于每个像素(x , y ),首先要依据该像素的坐标(x , y )和滤波器作用区域的形状、尺寸,确定其邻域内参与运算的所有像素的坐标;
⑵然后,确定参与运算的各像素对应的权值系数;
⑶最后,将参与运算的各像素灰度值与其对应权值系数相乘,再累加求和,即得到像素(x , y )的滤波输出。
4.2.1滤波器系数矩阵
线性空间域滤波器作用区域的尺寸、形状,以及各像素的权值都可以用“滤波器系数矩阵”h 来描述,如3⨯3均值滤波器的系数矩阵可表示为:  11919111111919111911919111h ⎡⎤⎡⎢⎥⎢==⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎤⎥⎥⎥
⎦  从中可见,每个像素都在结果中贡献了自身像素灰度值的1/9。滤波器系数矩阵又称滤波核、滤波模板、滤波掩模或滤波窗口等,本书多采用滤波模板这一术语。
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为便于编程,滤波器系数矩阵的行、列尺寸通常取奇数,以保证滤波模板在空间上为中心对称。因此,要定义一个m 行⨯n 列奇数尺寸的滤波模板,可令m  = 2a +1、n =2b +1,其中,a 、b 为非负整数,常用的滤波模板尺寸有3⨯3、5⨯5等。
模板中心
滤波器系数矩阵的中心位置元素称为模板中心,它是用于确定滤波器作用区域中像素与滤波器系数对应关系的“参考点”。以模板中心为原点,建立滤波模板的坐标系,这样,滤波模板中的每一个系数元素就可以用相对坐标来获取。当计算像素(x ,y )的滤波输出时,把模板中心与像素(x ,y )的位置“对中”,那么就可以利用滤波模板系数相对坐标所提供的“偏移量”,来确定参与计算的像素坐标及其对应的权值系数,如图4-1。
图4-1 线性空间域滤波机理,以3⨯3滤波模板为例。将滤波模板h 的中心点放在图像f 的(x ,y )像素处。滤波模板的每个系数h (s ,t )与图像中对应像素的灰度值f (x ,y )相乘,并将乘积累加求和,然后赋值给输出图像中对应像素g (x ,y )。注意图像坐标系、滤波模板坐标系及其相对关系。
空间域滤波的一般步骤
计算像素(x , y )滤波输出的一般步骤为:
⑴ 将滤波模板h 的中心平移到像素(x ,y )上;
⑵ 滤波器的每个系数h (s ,t )与应像素的灰度值f (x ,y )相乘,将乘积累加求和;
⑶ 将累加和赋值给输出图像中对应像素g (x ,y )。
上述计算步骤可由下式给出:
(,) (,)(,)a b
s a t b g x y h s t f x s y t =-=-=
++∑∑            (4.2-1)    为进一步说明滤波模板的计算过程,以3⨯3线性空间域滤波器为例,即a =b
=1,将式(4.2-1)展开:
11
11(,) (,)(,) =  (-1,-1)(-1,-1) +  (-1,0)(-1,) +  (-1,1)(-1,+1)    +(0,-1)(,-1)    +  (0,0)(,)    +  (0,1)(,+1)
+(1,-1)(+1,-1)  +  (1,0)(+1,s t g x y h s t f x s y t h f x y h f x y h f x y h f x y h f x y h f x y h f x y h f x y =-=-=
++∑∑) +  (1,1)(+1,+1)
h f x y    (4.2-2)隐藏式水箱
结合图4-1,就可以清楚地看出如何利用滤波模板坐标系提供的相对坐标偏移量,来确定滤波模板系数与像素之间的对应关系。
4.2.2 线性相关与线性卷积
线性相关
假定滤波模板h 作用范围之外的系数都为0,那么,式(4.2-1)实际上定义了两个离散二维序列-滤
波模板h 和图像f 的线性相关(linear correlation ),即
(,) (,)(,) (,)(,)a b
s t s a t b g x y h s t f x s y t h s t f x s y t ∞∞=-∞=-∞=-=-=
++=∑∑∑∑++      (4.2-3) 线性卷积 线性卷积运算是描述系统输入输出关系的基本数学概念,因此,也是所有线性滤波器的基础。滤波模板h 和图像f 的线性卷积(linear convolution )可表示为:
(,) (,)(-,-) (,)(-,-)a b
s t s a t b g x y h f h s t f x s y t h s t f x s y t ∞∞=-∞=-∞=-=-=*=
=∑∑∑∑      (4.2-4) 仍以3⨯3线性空间域滤波器为例,即a =b =1,将式(4.2-4)展开为:
11
11(,) (,)(-,-)
=  (-1,-1)(+1,+1) +  (-1,0)(+1,) +  (-1,1)(+1,-1)
+(0,-1)(,+1)      +  (0,0)(,)      +  (0,1)(,-1)
+(1,-1)(-1,+1)    +  (1,0)(s t g x y h s t f x s y t h f x y h f x y h f x y h f x y h f x y h f x y h f x y h f =-=-=∑∑-1,)    +  (1,1)(-1,-1)
=  (1,1)(-1,-1)      +  (1,0)(-1,)    +  (1,-1)(-1,+1)
+(0,1)(,-1)        +  (0,0)(,)      +  (0,-1)(,+1)
+(-1,1)(+1,-1)  +  (-1,0)x y h f x y h f x y h f x y h f x y h f x y h f x y h f x y h f x y h f (+1,)  + (-1,-1)(+1,+1)  x y h f x y    (4.2-5)
注意,观察式(4.2-3)和式(4.2-5)中相乘的滤波模板系数坐标与像素坐标之间的对应关系,不难看出,相关运算和卷积运算的不同之处在于:卷积运算之前,先把滤波模板沿水平方向和垂直方向翻转(镜像,也就是把模板绕中心旋转180°),然后将滤波模板中心平移到(x ,y )处,将模板系数与对应像素的灰度值相乘再累加。
当滤波模板的系数为中心对称时,即h (s ,t ) = h (-s ,-t ),线性空间域滤波采用相关运算或卷积运算的结果是相同的。
4.2.3 图像边界的处理
在滤波器实现过程中,需对图像边界附近的像素进行特殊处理。如果滤波模板不能完全包含于图像中,位于图像外部的模板系数将无像素对应,无法采用式(4.2-1)的相关运算或式(4.2-4)的线性卷积来计算滤波输出。
图4.2 图像边界处滤波操作的几何图示。滤波过程只能在那些坐标(x,y)能使尺寸为(2a+1) ⨯ (2b+1)的滤波模板全部包含于图像内部的地方进行。
可见,如果仅对那些坐标(x,y)能使尺寸为(2a+1)⨯(2b+1)的滤波模板全部包含于图像内部的像素进行滤波,就会导致滤波输出图像的尺寸缩小,但这在大多数实际应用中是不允许的。因此,对图像滤波时,多依据滤波模板的尺寸在图像边界外填充额外像素来扩展图像,然后就可以对原图像边界附近的像素进行滤波。如果滤波模板的尺寸为(2a+1)行⨯(2b+1)列,那么就需要对原图像上、下各扩展增加a行,左、右各扩展增加b列,如图4-3所示。
空间滤波常用的图像边界扩展方法有以下4种:
⑴图像边界外的像素用常值(例如,黑0或灰127)来填充扩展,见图4.3(a)。这会使滤波后的图像在边界处出现明显的瑕疵,特别是滤波模板尺寸比较大的时候。
⑵将图像四个边界像素复制(replicate)到边界外来扩展,见图4.3(b)。这种方法只有少量的瑕疵出现,也是比较容易计算的,因此通常作为边界扩展的首选方法。
⑶将图像在四个边界处作镜像(symmetric)对称反射到边界外来扩展,见图4.3(c),其效果与边界像素复制方法相近。
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⑷将图像在水平方向和垂直方向做周期性延拓(circular)来扩展,见图  4.3(d)。乍看起来,这种方法有些奇怪,通常情况下其效果也并不理想。然而,在离散频谱分析中,图像就被默认为一个周期函数。因此,如果图像是在频域中做的滤波,那么其结果等价于这种周期重复模型在时域中的滤波结果。
上述方法没有一种是完美的,对这些方法的正确选择依赖于图像和滤波器的种类。同时也要注意到,对图像边界的特殊处理往往比其它内部像素的处理需要更多的编程代码和运算时间。

本文发布于:2023-06-15 21:58:59,感谢您对本站的认可!

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