1997年全国初中数学联赛试题
(1)一个数的倒数等于自身，那么这个数是1
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
(3)a2的平方根是±｜a｜
(4)大于直角的角一定是钝角
其中错误的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A．4. B．5 C．6 D．7
3．若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝9，代数式（a－b）2＋（b－c）常州2＋（c－a）2的最大值是（ ）
A．27 B．18 C．15 D．12
4．给定平面上n个点，已知1，2，4，8，16，32都是其中两点之间的距离，那么点数n的最小可能值是（ ）
A．4. B．5. C．6 D．7
5．如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠C＝60°，E，M，F，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF之值为（ ）
A.4 B.4 C.5 D.6
6．如右图：已知∠A＝∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，
AA1＝17，PP1＝16，BB1＝20，A1B太阳能浴室1＝12，则AP＋PB等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
7．从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是_______． 8．当a取遍0到5的所有实数值时，满足3b＝a（3a－8）的整数b的个数是______．
9.若a,b满足,则的取值范围是______________.
10．若正整数x，y满足方程x2＋y2＝1997，则x＋y等于______．
11.如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC兔肝.
试证：BC⊥BD，且BC＝BD．
12.已知a，b为整数，且a＞b，方程3 x世界上哪种动物的眼睛最大?2＋3（a＋b）x＋4ab＝0的两个根α，β满足关系式α（α＋1）＋β（β＋1）＝（α＋1）（β＋1），试求所有的整数点对（a，b）．
3g终端
13.已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a＋5b＝c，则a＋b＋c是整数n的倍数”．试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论．
1997年全国初中数学联赛参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．A 4．D. 5．A 6．B
二、填空题
1. 2. 13 3. －≤S≤ 4. 63
三、证：∵∠EPG＝∠EFP＝∠CPF，
∴∠DPB＝∠APG＝45°＋∠EPG＝∠BPF＋∠CPF＝∠BPC．
又∵PD＝PC，PB公用，
∴△PDB≌△PCB．
∴BC＝BD．
又∵∠PBD＝∠CBP＝45°，
∴∠CBD＝90°，
∴BC⊥BD．
四、解：由方程3 x2＋3（a＋b）x＋4ab＝0，可得
α＋β＝－（a＋b），αβ＝ab ①
由关系式α（α＋1）＋β（β＋1）＝（α＋1）（β＋1）得（α＋β）2－3αβ＝1 ②
把①代入②，得（a＋b）2－4ab＝1 ③
即（a－b）2＝1
又∵a＞b，∴a－b＝1 ④
又由判别式△≥0得
3（a＋b）2≥16ab ⑤
将①代入⑤得
（a＋b）2≤4 ⑥
由④、⑥可知，满足条件的整数点对（a，b）只能是（1，0），（0，－1）
五、解：n的最大可能值是9
先证：3整除a＋b＋c
∵a＋b＋c＝a＋b＋2a＋5b＝3（a＋2b）∴3｜a＋b＋c
设a、b被3除余数分别为ra、rb，则因a、b是大于3的质数，故ra≠0，rb≠0
若ra≠rb，则ra＝1、rb＝2或ra＝2，rb＝1，这时，2a＋5b必是3的倍数，即c是合数了，矛盾
故ra＝rb即ra＝rb＝1或ra＝rb＝2，此时，a＋2b是3的倍数，从而9｜a＋b＋c
再证9是最大的
∵2×11＋5×5＝47中，11＋5＋47＝63，
又2×13＋5×7＝61中，13＋7＋61＝81，
而（63，81）＝9，故9是最大可能的值．
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