1
1994第十一届全国初中数学联赛
第一试
本题共有8个小题都给出了A ．B ．C ．D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确的结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分．
1．若01a <<22111211a a a a
⎛⎫
+
sem扫描电子显微镜
-+⨯ ⎪+⎝⎭可简化为（ ） A ．
11a
a
-+ B ．
1
1
美林证券
a a -+ C ．21a -
D ．21a -
2．设a ，b ，c 是不全相等的任意实数，若2x a bc =-，2y b ca =-，2z c ab =-，则x ，y ，z （ ）
A ．都不小于0
B ．都不大于0
C ．至少有一个小于0
D ．至少有一个大于0
3．如图1所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三沈达人
边BC ，CD ，DA 相切，若2BC =，3DA =，则AB 的长（ ）
A ．等于4
B ．等于5
图 1
电子体温表C
D
O
A
读万卷书 行万里路
C ．等于6
D ．不能确定
4．当11994
x +=
32001(419971994)x x --的值为 A ．1 B ．1- C ．20012
D ．20012-
5．若平行直线EF ，MN 与相交直线AB ，CD 相交成如图2所示的图形，
则共得同旁内角（ ）
A ．4对
B ．8对
C ．12对
D ．16对
6x p x -=有两个不相等的实根，则实数p 的取值范围是（ ）
A ．0p ≤
B ．1
4
p <
C ．104
p <
≤
D ．1
4
p ≥
7．设锐角三角形ABC 的三条高AD ，BE ，CF 相交于H ．若BC a =，
AC b =，AB c =，则AH AD BH BE CH CF ⋅+⋅+⋅的值是（ ）
A ．1
()2
注塑机螺杆的选择
ab bc ca ++
B ．2221
()2a b c ++
C ．2
()3
ab bc ca ++
D ．2222
()3
a b c ++
8．若21994x y a b ==（其中a ，b 是自然数），且有
111
x y z
+=，则2a b +的一切可能的取值是（ ）
A ．1001
B ．1001，3989
C ．1001，1996
D ．1001，1996，3989
二、填空题（本题满分32分，每小题8分）
图 2
N M
F E D
C
太极十二拍B A H
F
E D
C
B
A
3
（各小题只要求在所给横线上直接填空写结果．）
1．若在关于x 的恒等式
222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，2
2
Mx N
x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=，则N =_________．
2．当|1|6x +≤时，子数||21y x x x =-+的最大值是_________．
3．在ABC △中，设AD 是高，BE 是角平分线，若6BC =，7CA =，8AB =，则DE =_____．
4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于_______． 第二试
一、（本题满分20分）
如图所示，在ABC △中，AB AC =．任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP BQ =．求证：ABC
△的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．
二、（本题满分20分）
周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几 个？
三、（本题满分20分）
某次数学竞赛共有15个题．下表是对于做对(01215)n n =L ，，，，个题的人数的一个统计．
E
D
C
B
A
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n
0 1 2 3 … 12 13 14 15
做对n 个题的人数 7 8 10 21 … 15 6 3 1
题以下的
学生每人平均做对4个题．问这个表至少统计了多少人？
1994第十一届全国初中数学联赛
答案
第一试
一、选择题
1．A
【解析】 对于本题只能是逐项化简：
2
2
111a
a a a a a -⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
5
∴原式2111111a a a
a a a a
--=⨯⨯=
+++． 故选A ．
【点评】 本题要熟悉22
2112a a a a ⎛
⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭这样的形式，类似的形式在很多的题中都有很广泛的应
用．
2．D
【解析】 很容易可以联想到这样的公式；
2222222()()()()a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+-，
所以有：
2222()2()x y z a b c ab bc ca ++=++---
222()()()0a b b c c a =-+-+->，
即0x y z ++>，故x ，y ，z 中至少有一个大于0．
故选D ．
【点评】 本道题除了要注意公式：
2222222()()()()a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+-以外，还应该要注意一般要证明x ，y ，z 都不小于0或都不大于0等类似的情况的时候一般是将三个数加起来，再讨论他们的符号
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