1.已知方程0)2963()1(2222=++-+++b ab a x a x 有实根,则方程的根为______.
2.已知方程(|a |-1)x 2+2(a +1)x +1=0恰有一个实数满足,则a 的值为______.
3.若方程
0)
3(233=--+-+-x x a x x x x x 只有一个实根,则a 的值为______.
4.若方程组
+-=-++=+y
x a y x y
x a y x 2)(2)(2
2 有解,但无不同的解,则a 等 于______.
5.如图所示,在四边形ABCD 中,AD =DC =1,∠DAB =∠DCB =
90°,BC 、AD 的延长线交于点P ,则AB ·S △P AB 的最小值是______.
6.设2
)
(|)(|)(,2)(2x f x f x g x x x f -=-+=,当0≠a 时,直线y =ax +b 与曲线
y =g (x )有三个不同的交点,则a 、b 的取值范围是______.
三、解答题
1.(8分)已知a ＞b ＞c ,求证:
22)(9)2)(2(4)2(c a b a c c b a a c b -=-------
2.(8分)一艘船A 停泊在距海岸2千米处的海面上,沿海岸有一座B 城,距离岸上离船最近的C 点3千米.一位船员因事要到B 城去.已知他步行每小时走5千米,划船每小时行3千米,问此船员最快几小时到达B 城? 3.(10分)已知222b a c +=,且a ＞0,b ＞0,c ＞0,求证方程)1(2x a -
0)1(222=++-x c bx 有两个不等的实根;若该方程的两根的平方和等于6,求它的两根.
4.(14分)已知a 、b 、c 都是正数,求证: (1)若长度为a 、b 、c 的线段可构成一个三角形,则
对一切满足p +q =1的实数,都有pa 2+qb 2＞pqc 2.
(2)若对于一切满足p +q =1的实数,都有pa 2+qb 2＞pqc 2,则长度为a 、b 、c 的线段可以构成一个三角形.
参考答案
1. △=52-4(a +3)=13-4a 应为一完全平方数,且不大于52,因而a =1或a =3.易验证,a =1.a =3时原方程确有两
个正整数根,故选C .
解2:设方程的二整数根为x 1、x 2,不妨设x 1≤x 2,由韦达定理应有: x 1+x 2=5……①, x 1x 2=a +3……②.由①应有x 1=2,x 2=3或x 1=1,x 2=4,代入②得a =3或a =1.故选C .
2.解:由1
82
2+++=x b
x ax y 得 (a -y )x 2+8x +(b -6)=0.
要此方程有实根,应有 △=82-4(a -y )(b -y )≥0 也即 y 2-(a +b )y +ab -16≤0
因为y 的最小值是1,最大值是9,因此可得方程组:
=-++-=-++-016)(9810
16)(1ab b a ab b a 解这个方程组得a =b =5,故选C . 3.解:将方程
x 4+6x 3+(9-3p )x 2-9px +2p 2=0 变形得 (x 2+3x -p )(x 2+3x -2p )=0
由于这个方程仅有一个实数满足,因此方程x 2+3x -p =0与x 2+3x -2p =0,有一个有重根,另一个无实根,于是应有不等式组
(I )<+=?=+=?08904921p p 与(Ⅱ) =+=?<+=?0
8904921p p 由不等组(I )得4
郭志辰9
-
=p ,不等式组(Ⅱ)无解.故选A . 4.解:设方程x 2+2ax +a -4=0的二根为
x 1,x 2,判别式为
1644)4(44221+-=--=?a a a a ;方程x 2
+2ax +k =0的二根为'
1x 、'
2x ,判别式为
k a 4422-=?.则有
2
22
22
22
21
2
中矿国际工程设计研究院有限公司2
1
±-<
动力环境监控+-<
--<
--a a a a
从而得 21?>?,即 4a 2-4a +16>4a 2-4k 解得 k >a -4.
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