初中八年级数学培优训练（奥数）
专题12 心中有数
阅读与思考
现代社会是一个数字化的社会，我们每个人每天都要和各种各样的数字打交道，从国民生产总值、人均消费水平、人口自然增长率、股市综合指数，到家庭的水、电、煤气的月平均数，学生的身高、体重、考试成绩，都与数字有关.“用数据说话”已成为从事许多工作的基本要求，能用数据说话的人必须具备一定的统计知识. 对数据进行收集、整理、计算、分析，并在此基础上作出科学的推断，这就是数据分析，是统计学研究的基本范畴和方法，收集数据、量化处理的目的在于运用统计结果进行判断和决策. 统计学的基本思想就是用样本对总体进行估计、推理，即用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律，是从局部看整体的思想方法.
例题与求解
【例l】 在对某班的一次数学测试成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，满分100分）.请观察图形，并回答下列问题：
（1）该班有________名学生.
（2）69.5~79.5这一组的频数是_________，频率是_________.
（3）请估算该班这次测验的平均成绩.
解题思路：从频率直方图中捕捉相关信息.
【例2】 某学生通过先求与的平均值，再求得数与的平均值来计算，，三个数的平均数.当时，这个学生的最后得数是（ ）
A.正确的 B.总小于A C.总大于A
D.有时小于A，有时等于A E.有时大于A，有时等于A
（第二届美国中学生邀请赛试题）
解题思路：按不同方法计算平均值，作差比较它们的大小.
【例3】 某校九年级学生共有900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：
甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；
乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%；
丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；
丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15．
根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：
（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？
（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少.
（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min跳绳次数的平均值．
（安徽省中考试题）
解题思路：本题考查了频率、频数的概念和对频数直方图的认识，要理解各组频率之和为1，各组频数之和等于总数，掌握好这些知识点，自然可以解决问题.
【例4】 编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中，15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加，篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加．问原来在篮子A中有多少个弹珠？
（第十六届江苏竞赛试题）
解题思路：用字母分别表示篮子A，B中的弹珠数及相应的平均数，运用方程（组）来求解.
【例5】 某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n（n=0，1，2，…，15）道题的人数的一个统计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人？
问这个表至少统计了多少人？
n | 0 | 1 | 2 | 3 | … | 12 | 13 | 14 | 15 |
做对 n道题的人数 | 7 | 8 | 10 | 21 | 系船柱 … | 15 | 6 | 3 | 1 |
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（全国初中数学联赛试题）
解题思路：从统计表中可知做对0~3道题、12~15道题的相应总人数和总题数，结合已知条件，运用方程（组）、不等式（组）等知识方法求解.
【例6】 一次中考模拟考试中，两班学生数学成绩统计如下：
分数 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
人数 | 三（3） | 2 | 5 | 10 | 13 | ip交换机14 | 6冬眠疗法 |
三（4） | 4 | 4 | 16 | 2 | 12 | 12 |
| | | | | | | |
请你根据学过的统计学知识，判断这两个班在这次模拟考试中的数学成绩谁优谁次？并说明理由.
解题思路：这是一道开放性试题，看考虑问题是从哪一个侧面入手.本题因未说明从何种角度来考虑，故我们应多想几套方案.
能力训练
A级
1.大连是一个严重缺水的城市，为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表彰了100个节约用水模范户，5月份这100户节约用水的情况如下表：
每户节水量（单位：吨） | 1 | 1.2 | 1.5 |
深圳创业板节水户数 | 52 | 30 | 18 |
| | | |
那么，5月份这100户平均节约用水的吨数为（精确到0.01吨）_________吨.
（大连市中考试题）
2.某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一球得1分．得分的部分情况如下表所示：
已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班
学生有___________人．
（江苏竞赛试题）
3.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
所以应确定_______去参加射击比赛.
4.在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，，6，4，若这组数据
的平均数是5，则这组数据的中位数是_________件.
（包头市中考试题）
国民党王牌军覆灭记5.如果一组数据，，，，的平均数是中国现当代文学专题，则另一组数据，，，， 的平均数是（ ）
A. B. C. D.
（天津市中考试题）
6.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．设这些零件数的平均数为，众数为，中位数为，那么（ ）
A. B. C. D.
（宁夏中考试题）
7.为了了解某区九年级7 000名学生，从中抽查了500名学生的体重.就这个问题而言，下列说法正确的
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