2013年全国初中数学竞赛试题
班级 姓名 成绩 供稿人：李锦扬
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设非零实数，，满足则的值为（ ）．
2．已知，，是实常数，关于的一元二次方程中国发展的根本目的有两个非零实根，，则下列关于的一元二次方程中，以，为两个实根的是（ ）．
（第3题）
3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ）．（第4题）
4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：，
且，则的值为（ ）．
二、填空题
6．设，b是的小数部分，则轻兵器俱乐部的值为 ．
（第7题）
7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是 ．9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程的两根为a，b，一元二次方程的两根为c，d，则所有满足条件的数组为 ．
10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售调节板
4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅 笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．
三、解答题
（第11题）
2010年土耳其世锦赛
11．如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线与轴交于点D．求∠DBC∠CBE．
12．设△的外心，垂心分别为，若共圆，对于所有的△，求所有可能的度数．
13．设，，是素数，记，当时，，，能否构成三角形的三边长？证明你的结论．
14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数．
2013全国数学联赛试题参考答案
一、选择题
1．设非零实数，，满足则的值为（ ）．
【答案】A
【解答】由已知得，故．于是，所以．
2．已知，，是实常数，关于的一元二次方程有两个非零实根，，则下列关于的一元二次方程中，以，为两个实根的是（ ）．
【答案】B
【解答】由于是关于的一元二次方程，则．因为，，且，所以，且 ，，
于是根据方程根与系数的关系，以，为两个实根的一元二次方程是，即． （第3题）
3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ）．【答案】D
【解答】（第3题答题）
因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数．
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