2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷
(3月21日下午2：30━4：30或3月22日上午9：00━11：00)
学校___________________年级___________班 姓名_________________
一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）
1、若，则式子等于（ ）
（A）－4x＋3 （B）5 （C）2x＋3 （D）4x＋3
2、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为（ ） （A）1 （B） （C） （D）
3、已知a为非负整数，关于x的方程至少有一个整数根，则a可能取值的个数为（ ） （A）4 （B）3 （C）2 （D） 1
4、如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝62o，则∠AEB的度数是（ ）
（A）124o （B）122o
（C）120o （D）118o
5、如图，直线x＝1是二次函数N电信y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴，则有（ ）
（A）a＋b＋c＞0 （B）b＞a＋c
（C）abc＜0 （D）c＞2b
6、已知x、y、z是三个非负实数，满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若S＝2x＋y－z，则S的最大值与最小值的和为（ ） （A）5 （B）6
（C）7 （D）8
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1、已知a是方程x2－5x＋1＝0的一个根，则的个位数字为_____________．
2、在凸四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，若S△OAD＝4，S△OBC＝9，则凸四
边形ABCD面积的最小值为__________________．
3、实数x、y满足x2－2x－4y＝5，记t＝x－2y，则t的取值范围为___________________．
4、如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于E，F是OE的中点．如果BD//CF，BC＝2，则线段CD的长度为__________________．
三、（本大题满分20分）
已知方程x2＋ax－b黄铜矿＝0的根是a和c，方程x2＋cx＋d＝0的根是b和d．其中，a、b、c、d为不同实数，求a、b、c、d的值．
四、（本大题满分25分）
如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3的内心是I1，△A2A3A4的内心是I2，△A3A4A1的内心是I3．
求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆； （2）∠I1I2I3＝90o．
五、（本大题满分25分）
如图，将3枚相同硬币依次放入一个4×4的正方形格子中（每个正方形格子只能放1枚硬币）．求所放的3枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率．
2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷
参考答案及评分细则
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、B 2、C 3、B 4、B 5、D 6、A
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1、7 2、25 3、 4、
三、（本大题20分）
解：∵方程x2＋ax－b＝0的根是a和c，∴a＋c＝－a，ac＝－b
∵x2＋cx＋d＝0的根是b和d，∴b＋d＝－c，bd＝d 5分
（一）若d≠0，则由bd＝d知b＝1
由a＋c＝－中央排水系统a知c＝－2a，由ac＝－b知－2a2＝－1，解得 10分
当时，得d＝－c－b＝； （1）
当时，得d＝－c－b＝． （2）
经验证，，b＝1，，d＝是符合条件的两组解． 15分
（二）若d＝0，则b＝－c，由a＋c＝－a知c＝－2a，由ac电子顺磁共振＝－b知ac＝c
若c＝0，则a＝0，这与a、b、c、d是不同的实数矛盾．
若c≠0，则a＝1，再由c＝－2a知c＝－2，从而b＝－c＝2
经验证，a＝1，b＝2，c＝－2，d＝0也是符合条件的解． 20分
四、（本大题25分）
证明：（1）如图，连结I1A1，I1A2，I1唐山pm2.5A3，I2A2和I2A3
∵I1是△A1A2A3的内心，∴∠I1A1A2＝∠I1A1A3＝∠A2A1A3
∠I1A2A1＝∠I1A2A3＝∠A1A2A3，∠I1A3A1＝∠I1A3A2＝∠A1A3A2 5分
延长A1I1交四边形A1A2A3A4外接圆于P，则
∠A2I1A3＝∠A2I1P＋∠PI1A3＝∠I1A1A2＋∠I1A2A1＋∠I1A1A3＋∠I1A3A1
＝(∠A2A1A3＋∠A1A2A3＋∠A2A3A1)＋∠A2A1A3＝90o＋∠A2A1A3 10分
同理∠A2tsfI2A3＝90o＋∠A2A4A3，又∵四边形A1A2A3A4内接于一圆
∴∠A2A1A3＝∠A2A4A3，∴∠A2I1A3＝∠A2I2A3．∴A2、I1、I2、A3四点共圆． 15分
（2）又连结I3A4，则由（1）知A3、I2、I3、A4四点共圆
∴∠I1I2A3＝180o－∠I1A2A3＝180o－∠A1A2A3
同理∠I3I2A3＝180o－∠I3A4A3＝180o－∠A1A4A3 20分
∴∠I1I2I3＝360o－(∠I1I2A3＋∠I3I2A3)＝(∠A1A2A3＋∠A1A4A3)＝90o 25分
五、（本大题25分）
解：1、计算总的放法数N：第一枚硬币放入16个格子有16种放法；第二枚硬币放入剩下的15个格子有15种放法；第三枚硬币放入剩下的14个格子有14种放法．
所以，总的放法数N＝16×15×14＝3360． 10分
2、计算满足题目要求的放法数m：第一枚硬币放入16个格子有16种放法，与它不同行或不同列的格子有9个．因此，与第一枚硬币不同行或不同列的第二枚硬币有9种放法．与前两枚硬币不同行或不同列的格子有4个，第三枚硬币放入剩下的4个格子有4种放法．
所以，满足题目要求的放法数m＝16×9×4＝576． 20分
所求概率P＝． 25分
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