内容讲解： 二次函数的最值问题，包括三方面的内容： 自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．二次函数y=ax2+bx+c=a（x+）2+．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-时，y随x增大而减小；当x>-时，y随x增大而增大；当x=-时，y取最小值．当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-时，y随x增大而增大；当x>-时，y随x增大而减小；当x=-时，y取最大值． 2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，要结合图象和增减性来综合考虑． （1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值； （2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．
3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解．
例题剖析
例1 （2003年武汉选拔赛试题）若x-1=，则x2+y2+z2可取得的最小值为（ ）．
（A）3 （B） （C） （D）6
分析：设x-1==t，则x2+y2+z2可用只含t的代数式表示，通过配方求最小值．
解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t2+10t+6=14（t+）2+，所以最小值是．
评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此外，设比值为k法是解决等比问题最常用的方法． 例2 （1995年全国初中数学联赛试题）设x为正实数，则函数y=x2-x+的最小值是________．
分析：先将原函数配方，再求最值。解：y=x2-x+=（x-1）2+（x+）-1 =（x-1）2+（）2+1 要求y的最小值，最好有（x-1）2=0且（）职高数学2=0，这时得到x=1． 于是，当x=1时，y=x2-x+取最小值1．
评注：函数y=x2-x+含有，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、最有效的方法仍然是配方法．
例3 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x2+4│x│-1的最小值是________．
分析：对x分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，求二次函数最值问题．
解：y=2（│x│+1）2-3= 其图象如 图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．
答案：-1．
评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值．
例4 设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x2-2x-1│的最值．
分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．然后用数形结合方法求函数y=│f（x）│的最值．【解】：如图，先作抛物线y=x2-2x-1，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=│x2-2x-1│的图象，对称轴是直线x=，方程x2-2x-1=0的两根是±2．由此可知，0与3位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为： f（）=|（）-2·-1|=4， 而最小值为f（0），f（3）中较小者∵f（0）=1，f（）=6-8>1，∴最小值为1．
评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．
例5 设x如果没有你 山野1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x12+x22有最小值，并求这个最小值． 分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．解：由△=（-4m）2-4×2×（2m2+3m-2）≥0得m≤，
x1+x2=2m，x1x2=，x12+x22=2（m-）2+=2（-m）十大自然灾害发布2+，∵m≤，∴-m≥->0，
从而当m=时，x+x取得最小值，且最小值为2×（-）2+=．
评注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．
例6 求函数y=（4-x）+2的最值．
分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值． 解：设u=2-x，则u>0，且y=4+u． 于是（u+x）2=4（x2+9），即 3x2-2u·x+36-u2=0．∵x∈R，∴上式的判别式△=（2u）2-4×3×（36-u2）≥0， 即u2≥27，故u≥3． ∴y=4-x+2的最小值为4+3（当x=时取到）．
评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握．
例7 （2002年太原市竞赛题）已知二次函数y=x2-x-2及实数a>-2，求（1）函数在-2<x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．
分析：本题由于字母a的不确定性，因此需要分类讨论，并通过数形结合的方法来解．
解：函数y=x2-x-2的图象如图． （1）当-2<a<时，ymin=y│x=a=a2-a-2；当a≥时，ymin= =-．
（2）当-2<a且a+2<，即-2<a<-时，ymin=y│x=a+2=（a+2）2-（a+2）-2=a2+3a；当a<≤a+2，
即-≤a<时，ymin商务路路通= =-．评注：将a相对于抛物线对称轴的位置进行分类讨论是解题关键，
而数形结合的方法可以直观地帮助求解．
例8 （2004年全国初中数学联赛试题江西赛区加试题）函数y=x2-2（2k-1）x+3k2-2k+6的最小值为m，则当m达到最大时x=_______．
分析：可通过配方法将原函数配成a（x+n）2+m的形式，再根据m的形式确定m的最大值．
解：y=（x-2k+1）2-k2+2k+5，当x=2k-1时，y最小值是m=-k2+2k+5=-（k-1）2奇圣胶囊+6，所以当k=1时，m达到最大值．此时x=2k-1=1． 评注：配方法是求取二次函数最值问题中最常用的基本方法，对于二次函数的最小值的最大值问题，可通过反复配方来确定．
例9 （2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是_______．
分析：由条件可构造以x、y为根的一元二次方程，再根据其有实数根求出的范围． 解：∵x+y=5-z，xy=3-z（x+y）=3-z（5-z）=z2-5z+3． ∴x、y是关于t的一元二次方程t2-（5-z）t+z2-5z+3=0的两实根．
∵△=（5-z）2-4（z2-5z+3）≥0，即 3z2-10z-13≤0，（3z-13）（z+1）≤0． ∴z≤，当x=y=时，z=． 故z的最大值为．
评注：利用一元二次方程根的判别式的值“非负”或“为负”来求解函数最值的方法称为判别式法．
例10 （2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（-1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为________．
分析：应用二次函数y=ax2+bx+c过已知两点可确定a、b、c之间关系，并利用根的判别式求出b+c最值．解：由于二次函数的图象过点A（-1，4），点B（2，1），所以
因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以△maxthon3=b2-4ac>0，（-a-1）2-4a（3-2a）>0，即（9a-1）（a-1）>0，由于a是正整数，故a>1， 所以a≥2，又因为b+c=-3a+2≤-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，满足题意，故b+c的最大值为-4． 评注：借助二次函数图象与x轴的交点是所对应二次方程的根，通过根的判别式可确定相关字母（或式）的取值范围，进而可确定其最值是解决这类问题常用方法．
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