2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷
（考试时间：2016年3月4日下午3：00—5：00）
班级：: 姓名： 成绩：
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
A、 B、2 C、 D、5
2、如图，点D、E分别在的边AB、AC上，BE、CD相交于点F，设四边形EADF、、、的面积分别为、、、，则与的大小关系为（ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
3、对于任意实数a，b，c，d，有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“”定义为： .如果对于任意实数m，n都有，那么为（ ）
A、（0，1） B、（1，0） C、（-1，0） D、（0，-1）
4、如图，已知三个等圆⊙、⊙、⊙有公共点O，点A、B、C是这些圆的其他交点，则点O一定是的（ ）
A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心
5、已知关于x的方程有四个根，则k的范围为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、设在一个宽度为w的小巷内搭梯子，梯子的脚位于P点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。将梯子的顶端放于一堵墙的Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为，将该梯子的顶端放于另一堵墙的R点时，R离开地面的高度为h，梯子的倾斜角为，则小巷的宽度w等于（ ） A、h B、k C、特异功能 D、
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
7、化简的值为 ．
8、如果关于x的实系数一元二次方程有两个实数根、，那么的最小值是 ．
9、设四位数满足，则这样的四位数有 个．
10、如图，MN是⊙O的直径，，点A在⊙O上，，B为的中点，P是直径MN上一动点，则的最小值为 ．
三、（本大题满分20分）
11、设实数a，b，c满足：且，求的值。
四、（本大题满分25分）
12、已知抛物线与x轴相交于两点A、B（点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上），与y轴交于点C.（1）求m的取值范围；（2）若，在该抛物线对称轴右边图像上求一点P的坐标，使得. 五、（本大题满分25分）
13、如图，等腰三角形ABC中，，D，E分别在AB，AC边上，且.P在AB的延长线上，QR分别在线段CE、DB上，且，连结直线PQ与BC交于点L，QR与CD，BE分别交于点M，N.求证：（1）；（2）
2016年全国初中数学联赛初赛试卷
（考试时间：2016年3月13日下午3：00—5：00）
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、C． 2、C． 3、D． 中国图书馆分类法4、C． 5、B． 6、A．
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
7、． 8、18． 9、3． 10、．
三、（本大题满分20分）
11、解：由14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，
得13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0， （5分）
配方得(3a-c)2+(2a-b)2+(3b-2c)2=0， （10分）
所以3a-c=0，2a-b=0，3b-2c=0，
即c=3a，b=2a． （15分）
代入得
==． （20分）
解法二：由14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，
得13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0， （5分）
5[c2-2()c+()2]+13a2+10b2-4ab-=0，
5(c-)2+a2+b2-ab=0，
所以5(c-)2+(2a-b)2=0， （10分）
由此得，c-=0，2a-b=0，
解得b=2a，c=3a． （15分）
代入得
==． （20分）
四、（本大题满分25分）
12、解：（1）由已知得，-x2+2(m+1)x+m+3=0有两个不相同的实数解，
所以∆=[2(m+1)]2+4(m+3)= 4m2+12m+16=(2m+3)2+3＞0，
可知m是任意实数． （5分）
又因为点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上．
所以方程，-x2+2(m+1)x+m+3=0的两根一正一负，
所以- (m+3)＜0，解得m＞-3．
所以所求m的取值范围是m＞-3． （10分）
（2）解法一：设点A(a，0)，B(b，0)，a＞0，b＜0，
浙江农村党员干部远程教育则a=-3b，且a+b=2(m+1)，ab=-(m+3)，
解得m=0．
函数解析式为y=-x2+2x+3． （15分）
所以A(3，0)，B(-1，0)，C(0，3)。
由∠PCO=∠BCO可知BC与PC关于直线OC对称。
作B关于OC的对称点B′，则B′(1，0)，
设直线PC是一次函数y=kx+b的图象，则
，解得 。
即PC是一次函数y=-3x+3的图象。
把y=-3x+3代入y=-x2西游记金蝉脱壳+2x+3，
得-3x+3=-x2+2x+3， （20分）
解得x=0，x=5，
当x=0时，y=3，此时点P与点C重合，不合题意，舍去；
当x=5时，y=-12，此时点P的坐标为(5,-12)．
故抛物线对称轴右边图象上有一点P(5,-12)，使得∠PCO=∠乘法表BCO．
（25分）
解法二：设点A(a,0)，B(b,0)，a＞0，b＜0，
则a=-3b，且a+b=2(m+1)，ab=-(m+3)，
解得m=0．中国民航安全飞行记录
函数解析式为y=-x2+2x+3． （15分）
所以A(3,0)，B(-1,0)，C(0,3)。
设P点的坐标为(c,-c2+2c+3)（c＞1）．
当1＜c≤2时，∠PCO≥90°＞∠BCO．
当c＞2时，tan∠PCO=，
又tan∠BCO=，由∠PCO=∠BCO得tan∠PCO=tan∠BCO．
即=， （20分）
解得c=5．
当x=5时，y=-12，此时点P的坐标为(5,-12)．
故抛物线对称轴右边图象上有一点P(5，-12)，使得∠PCO=∠BCO．
（25分）
五、（本大题满分25分）
13、证明：
（1）过P作PH平行于AC交直线BC于点H，连结PH，BH。
则∠PHB=∠ACB=∠ABC=∠PBH，
所以HP=BP=CQ。 （5分）
又∠HLP=∠CLQ，∠PHL=∠QCL，
所以△HLP≌△CLQ．
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