一、引言
1．国际数学竞赛中出现的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主体．国际数学竞赛中的平面几何题数量较多、难度适中、方法多样（综合几何法、代数计算法、几何变换法等），从内容上看可以分成三个层次：
第一层次，中学几何问题．
这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．
第二层次，中学几何的拓展．
这是比中学教材要求稍高的内容，如共点性、共线性、几何不等式、几何极值等．这些问题结构优美，解法灵活，常与几何名题相联系．有时还可用几何变换来巧妙求解．
第三层次，组合几何——几何与组合的交叉 ．
这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO （1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．组合几何的异军突起是数学竞赛的三大热点之一．
2．在中国的数学竞赛大纲中，对平面几何内容除了教材内容外有如下的补充．
初中竞赛大纲：四种命题及其关系；三角形的不等关系；同一个三角形中的边角不等关系，不同三 角形中的边角不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质．
少年同性恋网站高中竞赛大纲: 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形中的 几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴；面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．
二、基本内容小时候绿原
全等三角形的判别与性质，相似三角形的判别与性质，等腰三角形的判别与性质，“三线八角”基本图形，中位线定理，平行线截割定理，圆中角（圆心角、圆周角、弦切角）定理等大家都已经非常熟悉，此外，竞赛中还经常用到以下基本内容．
定义1 点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段（一个点集可能有多条直径，也可能没有直径）．
定义2 如果对点集A 中的任意两点，以这两点为端点的线段包含在A 里，则集合A 称为是凸的． 定义3 设n M M M ,,,21 是多边形，如果12n M M M M = 并且当j i ≠时，i M 与j M 没有公共的内点，则称多边形M 剖分为多边形12,,,n M M M ．
定义4 如果凸边形N 的所有顶点都在凸多边形M 的边上，则称多边形N 内接于多边性M ．
定理1 两点之间直线距离最短．
推论 三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
定理2 三角形的内角之等于 180．凸n 边形（3≥n ）的n 个内角和等于(2)180n - ；外角和为
180（每一个顶点处只计算一个外角）．
证明 如图1，过C 作//CE AB ，则有 ECA A ∠=∠，（两直线平行，内错角相等）
得 ()A B C A C B ∠+∠+∠=∠+∠+∠ （结合律）
ECB B =∠+∠（等量代换）180= ．（两直线平行，同旁内角互补 图1
推论 三角形的一个外角等于两个不相邻内角之和．
定理3 三角形中大边对大角、小边对小角．
证明 （1）如图2，在ABC 中，已知AB AC >，可在AB 上截取AD AC =，则在等腰ACD 中有 12∠=∠．（等腰三角形的性质定理）
又在BCD 中，2B ∠>∠，（外角定理）
更有 12C B ∠>∠=∠>∠．（传递性）
说明 由上面的证明知
,,,AB AC B C AB AC B C AB AC B C >⇒∠<∠⎧⎪=⇒∠=∠⎨⎪<⇒∠>∠⎩
这样的分断式命题，其逆命题必定成立．证明如下： 图2
（2）反之，在ABC 中，若C B ∠>∠，这时,AB AC 有且只有三种关系AB AC <，AB AC =，AB AC >．若AB AC <，由上证得C B ∠<∠，与已知C B ∠>∠矛盾．
若AB AC =，由等腰三角形性质定理得C B ∠=∠，与已知C B ∠>∠矛盾． 所以AB AC >．
定理4 在ABC 与111A B C 中，若1111,AB A B AC AC ==，则111A A BC B C ∠>∠⇔>．
定理5 凸四边形ABCD 内接于圆的充分必要条件是：
180ABC CDA ∠+∠= （或180BAD DCB ∠+∠= ）．
证明 当四边形ABCD 内接于圆时，由圆周角定理有 1122ABC CDA ADC ABC ∠+∠=+ 1118022ADC ABC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
． 同理可证180BAD DCB ∠+∠= ．反之，当180ABC CDA ∠+∠= 时，首先过不共线的三点,,A B C
作O ，若点D 不在O 上，则有两种可能：
（1）D 在O 的外部（如图3（1））．记AD 与O 相交于S ，连CS ，在CDS 中有
ASC CDA ∠>∠．又由上证，有180ABC ASC ∠+∠= ，
得180180ABC CDA ABC ASC =+∠<∠+∠=
，矛盾．
图3
（2）D 在O 的内部（如图3（2））．记AD 的延长线与O 相交于S ，连CS ，在CDS 中有
ASC CDA ∠<∠．又由上证，有180ABC ASC ∠+∠= ，
得 180180ABC CDA ABC ASC =+∠>∠+∠= ，矛盾．
定理6 凸四边形ABCD 外切于圆的充分必要条件是
AD BC CD AB +=+．
证明 当凸四边形ABCD 外切于圆时，设各边的切点分别为,,,P Q R S （如图4），根据圆外一点到圆的两切线长相等，有
,
,,
.
AP AS PB BQ CR QC DR DS ==== 相加 AP PB CR DR AS BQ QC DS +++=+++，
得 AD BC CD AB +=+． 图4
反之，若AD BC CD AB +=+，我们引,B C ∠∠的平分线，因为360B C ∠+∠< ，所以，两条角
平分线必定相交于四边形内部一点，记为N ，则N 到三边,,AB BC CD 的距离相等，可以以N 为圆心作N 与,,AB BC CD 同时相切，这时AD 与N 的关系有且只有三种可能：相离、相切、相交．
（1）若AD 与N 相离（如图5（1））．过A 作切线与CD 相交于/D ，在/ADD 中，有 //DD AD AD >-． ①
但由上证，有//
AB CD BC AD +=+，
又由已知，有AD BC CD AB +=+
相减得 //CD CD AD AD -=- ， //DD AD AD =-，与①矛盾．
图5
（2）若AD 与N 相交（如图5（2））．过A 作切线与CD 的延长线相交于/D ，在/ADD 中，有① //DD AD AD >-．
但由上证，有//AB CD BC AD +=+，
又由已知，有AD BC CD AB +=+相减得 //CD CD AD AD -=- ，
即 //DD AD AD =-，与①矛盾．
综上得AD 与N 的相切，即凸四边形ABCD 外切于圆．
定理7 （相交弦定理）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
定理8 （切割线定理）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
定义 5 从一点A 作O 的割线交O 于,B C ，则点A 到两交点,B C 的线段长度之积AB AC 称为点A 对O 的羃．对于两个已知圆有等羃的点的轨迹，称为两圆的根轴（或等羃轴）．
定理9 若两圆相交，其根轴在两圆公共弦所在的直线上；若两圆相切，其根轴在过两圆切点的公切线上；若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点在根轴上．
定理10 （三角形面积公式）在ABC ∆中，记c b a ,，为三边长，1()2
p a b c =++为半周长，R 是外接圆半径，r 为内切圆半径，a h 是边BC 上的高，a r 是与边BC 及,AB AC 的延长线相切的旁切圆的半径，则ABC ∆的面积S 为：
111(1)222
a b c S ah bh ch ===； 111(2)sin sin sin 222
S ab C ac B bc A ===； ))()(()3(c p b p a p p S ---=；
2(4)2sin sin sin 4abc S R A B C R
==； rp S =)5(；
)(2
1)6(a c b r S a -+=
； )2sin 2sin 2(sin 2
1)7(2C B A R S ++=． 定理11 在ABC Rt ∆中，有 （1）222a b c +=，（勾股定理的逆定理也成立）
（2）1(),22
c r a b c R =+-=．
定理12 （角平分线定理）设AD 是ABC ∆中A ∠的平分线，则．AB BD AC DC
氢化锂>没有革命的理论就没有革命的运动=． 此定理有10多种证法，下面是有辅助线与无辅助线的两种代表性证法．
证明1 （相似法）如图6，延长BA 到E ，使AE AC =，连CE ，则
12B A D A ∠=
∠（已知） ()12
A E C A C E =∠+∠（外角定理） AEC =∠，（等腰三角形的两个底角相等）
有 //AD CE ，
得 B D A B A B D C A E A C
==．（平行线截割定理） 图6 证明2 （面积法）11sin 2211sin 22
ABD ACD AB AD A S BC AB DC S AC
AC AD A ∠===∠ ． 定理13 （正弦定理、余弦定理）在ABC ∆中，有
（1）cos cos a b B c C =+，
cos cos b a A c C =+，
cos cos c a A b B =+．
文件管理系统>庆祝西藏和平解放70周年大会
（2）2sin sin sin a b C R A B C
===； （3）222
2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-，
C ab b a c cos 2222-+=．
（4）222
sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+-． （2）
2sin sin sin a b C R A B C
===； 证明1 （1）当ABC ∆为直角三角形时，命题显然成立．
（2）当ABC ∆为锐角三角形时，如图7（1），作ABC ∆外接圆O ，则圆心O 在ABC ∆的内部，连BO 交O 于D ，连结DC ．因为BD 是O 的直径，所以90BCD ∠= ，在直角BCD 中有
2sin a R D =，但A D ∠=∠，故得2sin a R A =．同理可证2,2sin sin b c R R B C
==． 得 2sin sin sin a b C R A B C
===． （1） （2）
图7
（3）当ABC ∆为钝角三角形时，记A ∠为钝角，则圆心O 在ABC ∆的外部，过A
作直径，仿上证
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